La parola baréi può aver significato “terreno sodo, non coltivato" ed è collegabile a bar “zolla erbosa". Si sarà trattato, in origine, di un soprannome o di un microtoponimo. Potrebbe anche derivare da una variante del nome di persona Barone in uso nel Medio Evo, e non è da escludere un plurale di Barel (vedi). Il centro di irradiazione di questo cognome sembra essere Morsano al Tagliamento (1745 Barei Carlo pubblico perito; 1777 Barei Giovanni notaio); si trova anche a Castions di Strada, Udine e, secondo Castellarin 1990, a Malafesta di San Michele al Tagliamento, Pertegada, Ronchis di Latisana, Vado e Varmo.