Potrebbe trattarsi di una variante diminutiva del nome di persona Barone in uso nel Medio Evo, ma non si può escludere un collegamento con barét “berretto".
In Zucchiatti 2008, 30 si hanno le seguenti attestazioni per Fagagna: sec. XV Paolo Bareti; 1661 Domenego Baret; 1661 Baretto detto Cuz; 1727 Gioseffo Baret; 1731 Domenico Baret.
fonti
1434 Dominicus cerdo dictus Nevot q. Simonis Beret a Udine (Corgnali); 1602 muore a Udine m.° Franc. Barettino calligaro (morti S. Xforo); 1658 Hon. Ser Gio. Maria Baretta priore della Fraterna di S. Antonio Abbate di Udine (AAO ms. 1003); 1675, 14 settembre Sig. Gio. Maria Baretta mercante Udine cita don Giacomo Michelesio (Mandatorum); 1689 Eredi q. Nicolò di Nat d.° Baret, debitore della Fraterna di S. Nicolò di Sequals (ANU CRS 466); 1700 Giac. Baretto di Pagnaco, teste in Ravosa (ASU CRS 401/1); 1735 Zuanne Baretto della Vicinia di Plaino (ASU CRS 350/1); 1737 m.° Andrea q. Pietro Baretin d.° Vuata di Ciago di Medun (ASU CRS 284).